W10. Конические сечения: окружность, эллипс, парабола, гипербола; уравнения второго порядка; поворот осей

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

3 ноября 2025 г.

1. Кратко

1.1 Конусы и конические сечения

1.1.1 Конус

Конус (cone) — трёхмерное тело: объединение отрезков от общей точки (вершина / apex, vertex) до точек плоского основания. Для конических сечений удобен двуполостный конус (double-napped cone): два одинаковых конуса с общей вершиной. Он получается вращением прямой вокруг оси, с которой она пересекается.

1.1.2 Конические сечения

Коническое сечение (conic section) — кривая, полученная пересечением плоскости с двуполостным конусом. Тип кривой (окружность, эллипс, парабола, гипербола) зависит от угла плоскости к оси. Вырожденные случаи (degenerate conics) — точка, прямая, пара прямых.

1.2 Окружность

1.2.1 Определение и уравнения

Окружность (circle) — множество точек плоскости, равноудалённых от центра \((h,k)\); расстояние — радиус (radius) \(r\).

Стандартный вид (standard equation): \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
Общий вид (general form): \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), где \(D=-2h\), \(E=-2k\), \(F=h^2+k^2-r^2\).

1.2.2 Примеры

По центру и радиусу: центр \((2,-3)\), \(r=5\) ⇒ \((x-2)^2+(y+3)^2=25\); в общем виде \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\).
Из общего вида — выделение полных квадратов (completing the square).
По трём точкам — подстановка в общий вид и решение системы для \(D,E,F\); коллинеарные точки окружность не задают.

1.3 Эллипс

1.3.1 Определение и уравнение

Эллипс (ellipse) — сумма расстояний до двух фокусов (foci) постоянна.

Стандартный вид при центре \((h,k)\):
- Горизонтальная большая ось (horizontal major axis): \(\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\)
- Вертикальная большая ось (vertical major axis): \(\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1\)
\(a\) — semi-major axis, \(b\) — semi-minor axis, \(a>b>0\); больший знаменатель — у \(a^2\).
\(c\) — расстояние от центра до фокуса: \(c^2=a^2-b^2\).

1.3.2 Ориентация

Ориентация задаётся знаменателем у \((x-h)^2\) и \((y-k)^2\).

Правило: больший знаменатель задаёт направление большой оси (major axis).

1.3.3 Эксцентриситет

Эксцентриситет (eccentricity) \(e=\frac{c}{a}\), \(0\le e<1\); \(e=0\) — окружность; при \(e\to 1\) эллипс вытянут.

1.4 Парабола

1.4.1 Определение и уравнение

Парабола (parabola) — равные расстояния до фокуса (focus) и директрисы (directrix); вершина (vertex) — середина между фокусом и директрисой.

Вертикальная ось симметрии: \((x-h)^2=4a(y-k)\); вверх при \(a>0\), вниз при \(a<0\); фокус \((h,k+a)\), директриса \(y=k-a\).
Горизонтальная ось: \((y-k)^2=4a(x-h)\); вправо/влево по знаку \(a\); фокус \((h+a,k)\), директриса \(x=h-a\).

\(|a|\) — расстояние от вершины до фокуса.

1.4.2 Переход между формами

Раскрытие квадрата и перенос — в общий вид; обратно — выделение полного квадрата.

1.5 Гипербола

1.5.1 Определение и уравнение

Гипербола (hyperbola) — модуль разности расстояний до фокусов постоянен; две ветви (branches); действительная ось (transverse axis) через вершины.

Горизонтальная действительная ось: \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\)
Вертикальная действительная ось: \(\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\)
\(a\) — до вершины, \(c^2=a^2+b^2\), положительный знак всегда у «\(+a^2\)» в стандартной записи.

1.5.2 Асимптоты

Асимптоты (asymptotes) и «опорный» прямоугольник для эскиза.

Горизонтальная гипербола: \(y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)\)
Вертикальная: \(y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h)\)

1.5.3 Эксцентриситет

\(e=\frac{c}{a}>1\); при \(e\to 1\) ветви узкие; при росте \(e\) — «шире».

1.6 Общее уравнение второго порядка и поворот осей

1.6.1 Общий вид

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\] Член \(Bxy\) означает поворот (rotation) коники относительно осей \(x,y\).

1.6.2 Дискриминант

\(\Delta=B^2-4AC\): \(\Delta<0\) — эллипс (или окружность при \(A=C,B=0\)); \(\Delta=0\) — парабола; \(\Delta>0\) — гипербола.

1.6.3 Поворот осей

Угол \(\theta\), убирающий \(Bxy\): \[\cot(2\theta)=\frac{A-C}{B}\quad\text{или}\quad\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}\] Подстановка \[x=x'\cos\theta-y'\sin\theta,\quad y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\] приводит к простому виду в \((x',y')\).

1.7 Параллельный перенос координат

Параллельный перенос (translation) сдвигает начало в \(O'=(\alpha,\beta)\): \[x=x'+\alpha,\quad y=y'+\beta\] Это переносит центр/вершину коники в начало новой системы.

2. Определения

Cone / конус: от плоского основания к вершине.
Conic section / коническое сечение: пересечение плоскости с двуполостным конусом.
Circle / окружность: равные расстояния до центра.
Ellipse / эллипс: постоянная сумма расстояний до двух фокусов.
Parabola / парабола: равные расстояния до фокуса и директрисы.
Hyperbola / гипербола: постоянный модуль разности расстояний до фокусов.
Focus / фокус (foci): опорные точки.
Directrix / директриса: опорная прямая для параболы.
Vertex / вершина: пересечение коники с осью симметрии (в зависимости от типа).
Center / центр: для окружности, эллипса, гиперболы.
Radius / радиус.
Major/Minor axis / большая и малая ось эллипса.
Transverse axis / действительная ось гиперболы.
Asymptote / асимптота.
Eccentricity \(e\) / эксцентриситет.
Discriminant / дискриминант \(\Delta=B^2-4AC\).

3. Формулы

Окружность (стандарт): \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
Эллипс (гориз. большая ось): \(\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\)
Эллипс (верт. большая ось): \(\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1\)
Связь фокусов эллипса: \(c^2=a^2-b^2\)
Парабола (вертикальная ось): \((x-h)^2=4a(y-k)\)
Парабола (горизонтальная ось): \((y-k)^2=4a(x-h)\)
Гипербола (гориз. действ. ось): \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\)
Гипербола (верт. действ. ось): \(\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\)
Связь фокусов гиперболы: \(c^2=a^2+b^2\)
Асимптоты (гориз.): \(y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)\)
Асимптоты (верт.): \(y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h)\)
Эксцентриситет (эллипс и гипербола): \(e=\frac{c}{a}\)
Директрисы эллипса (гориз.): \(x=h\pm\frac{a}{e}\)
Директрисы гиперболы (гориз.): \(x=h\pm\frac{a^2}{c}\)
Latus rectum / фокальная хорда: \(l=\frac{2b^2}{a}\)
Общее уравнение 2-го порядка: \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)
Дискриминант: \(\Delta=B^2-4AC\)
Угол поворота: \(\cot(2\theta)=\frac{A-C}{B}\)
Поворот координат: \(x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\), \(y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\)
Перенос: \(x=x'+\alpha\), \(y=y'+\beta\)
Расстояние от точки до прямой: \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

4. Примеры

4.1. Каноническое уравнение эллипса и директрисы (Лаба 7, Задание 1)

Найдите каноническое уравнение эллипса и уравнения его директрис, если фокусы \((4,0)\) и \((-4,0)\), а эксцентриситет \(e=\frac13\).